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这个世界的一个奇妙之处在于,调整我们的观察方式,就能得出令人惊讶的结论。例如:将直角坐标系的两个数轴刻度改写为对数,或者说,让数轴上的刻度以10的整数倍增长,一些看似无关的事物之间也会表现出明显的规律性。《规模》就在这样的坐标系中展示出了“复杂世界的简单法则”。

在对数坐标中,哺乳动物的体重和代谢率的函数关系是一条斜线,动物的体重和其一生中心跳的次数几乎成一条水平线,城市人口与其专利数量也能拟合成一条斜线,甚至包括公司,公司的雇员人数与其净收入、或者雇员人数与其总资产,也有明显的相关关系……

在直角坐标系中,上述每两种变量之间都是非线性关系,然而,通过坐标系变换,我们能够将其映射为对数坐标系中的线性关系。对数坐标系中,直线的斜率k成为本书讨论的重点:k<1被称作亚线性规模缩放,k>1被称作超线性规模缩放。

作者发现,与生物特征有关的变量,通常有k<1,也就是说是亚线性规模缩放的,从能量的角度,生物体维持生存需要消耗能量,成长也需要消耗能量,起初能量的供给大于维持生存所需,多余的能量可以供给成长,但是能量的供给增速赶不上维持生存所需,两者平衡的时候就会停止成长。对于城市而言,其基础设施等硬件也遵循k<1的规律,但是其创造力等软件却遵循k>1的超线性规模缩放规律,而公司的特征则与生物体相似,也是k<1。

为什么生物体、城市、公司这些截然不同的事物会遵循相似的规则?显然,这种规则是超越上述事物具体形态的,作者将其归结为网络结构的属性,生物体内传输营养的血管是网络,城市运转的水电气、公路是网络,公司经营的组织管理也是网络,而同类网络,不论规模大小都有如下三种特征:

  • 空间填充:网络的触角必须延伸至它所服务的整个系统的各个角落。

  • 终端单元的恒定性:给定网络的终端单元都有近似相同的尺寸和特点,无论网络规模(生物体体型、城市规模、公司规模等)有多大。

  • 优化:通过长期的自然进化,网络性能已经得到了“优化”——网络正常运行所需的能量已经达到最小化。

那么,一个足够优化的网络会是什么形态呢?还是从生物体的网络出发,作者分享了本书最激动人心的解释:分形。

对于生物体而言,“代谢率随体重的约3/4次幂发生变化”(克莱伯定律),也就是对数坐标系中直线的斜率k=3/4,“类似的规模法则适用于所有生物数量和生命史特征,包括增长率、心率、进化速率、基因组长度、线粒体密度、大脑灰质、寿命、树木高度,甚至树叶的数量……它们都是“幂律”,并且指数都是1/4的整数倍,经典的例子便是代谢率的3/4……数字“4”在所有生命体中都扮演着基础性的、神奇的角色。”

为什么偏偏是神奇数字“4”?现实中的生物体都是3维空间的事物,如果网络结构能够为生物体增加1个额外的维度,使得3+1=4,那么“4”就得到了一个合理的数学解释。让我们打开脑洞,抛开那些科普读物中那张科赫曲线的简图,甚至数学教材中对于“分形”的粗浅定义,看看《规模》中“分形”如何实现这一目的。

《规模》附带解读本中万维钢先生的文章对本书所涉“分形”的基础知识给予了重要补充(38页-40页):首先给出了维度的数学定义,然后据此计算出夹角60度时,科赫曲线的维度D=1.26,最后调整科赫曲线的夹角,计算出不同情况下科赫曲线的维度,极限情况下夹角为90度时,维度D=2。上述过程中,明明是一条1维的直线,按照科赫曲线的生成规则,得出的曲线维度D始终大于1,极限情况下,曲线填满平面,竟然变成了2维的平面。

事实上,现实生活中即使不懂科赫曲线的人,只要留心观察,一样可以看到直线变平面的例子:卷尺抽出来就是一条直线,卷曲时从侧面看过去,不就是一个圆平面吗?将电缆盘起来也是如此,这甚至比科赫曲线形成的三角形平面看上去更自然。

《规模》的作者韦斯特先生用洗床单来解释“分形”的例子也是启发我们留心观察生活的极好例子——尽管从平常事物中看出万物演化的规律真的很难。

“等到脏床单足够多时,你会尽可能多地往里塞。现在回想一下,普通的体积要比面积缩放得更快,所以如果你能在保持其形状不变的前提下使洗衣机的边长翻番,那么洗衣机的实际容量会变为原来的8(2^3)倍,而表面积将变为原来的4(2^2)倍。因此,你可能会得出结论,因为床单基本是二维的面积(它的厚度可以忽略不计),你可以通过将洗衣机的尺寸翻番来容纳4倍于原来数量的床单。然而,如果我们将所有床单都塞入滚筒内,床单完全填充整个空间,因为滚筒的体积是原来的8倍,所以很清楚地可以得出其实你可以塞8倍的床单进去,而不是4倍。换句话说,填入三维洗衣机里的二维床单的有效面积是按体积进行比例缩放的,而不是面积。所以,如此一来,我们便把面积变成了体积。

其原因在于我们用到的是光滑的欧几里得平面——床单,把它们弄皱,产生大量褶皱,从而将它们变成分形。实际上,褶皱的大小分布遵循经典的幂律:长的褶皱非常少,但短的褶皱有很多,它们的数量遵循幂律分布。现实中,你不能将床单完全弄皱塞进洗衣机里,同样的例子还有用纸团成的球,所以它们是完全空间填充的,但你只能无限接近;而且这反映在它们测得的分形维数上,实际上略小于2。你也不想完全弄皱床单,因为如果被塞得太满,洗衣机也不能很好地清洗。”

——《规模》第4章

就这样,“分形”为网络多增加了1个维度,这解释了生物体的那个神奇数字“4”。于是,“尽管你的肺只有一个足球那么大,体积为5~6升(约1.5加仑),但是,血液中负责氧气和二氧化碳交换的肺泡(呼吸系统的终端单元)的总表面积几乎有一个网球场那么大。所有气流通路的总长度约为2500千米,这几乎是从洛杉矶到芝加哥或者从伦敦到莫斯科的距离。更令人震惊的是,如果把你循环系统中的所有动脉、静脉和毛细血管平铺开来,首尾相连,它们的总长度约为10万千米,差不多可以绕地球2.5圈,或者说比地月距离的1/3还长一点……所有这一切整齐地排列在你5~6英尺高的身体内。”