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“如果在作图中我们要求某些直线相交,而实际上它们却是平行的,这时我们的有些讨论就将失效……两条平行线不相交的事实,使几何推理在每一步似乎都遇到障碍,以至于在涉及两条直线相交的任何讨论中,平行线这种例外情形都必须分开来加以考虑和阐述。同样,中心射影必须和平行射影区分开来,并要对后者另行处理。如果我们真的必须对每一个这样的例外情形进行细致的讨论的话,那么射影几何将变得非常庞杂。因此我们试图改变一下,把我们的基本概念做某种推广,使得能去掉这例外情况。”——《什么是数学》第4章

根据日常经验,看起来明明不相交的两条平行线,你非要说他们在无穷远点相交,这种违背经验的概念怎么解释看起来都像悖论,学生时代的课本没能给我合理的解释,好在考试也不牵涉此论,于是,关于这个问题的疑惑就这样遗忘在我的长期记忆里——直到遇到本书的解释。原来,无穷远点概念的扩展其实包含着一种重要的数学思想:为了简化讨论,而对基本概念做某种推广,审视这种推广是否有意义的标准则是原有的性质/规则能否被延续(哪怕是部分的、有条件的延续)。

“在这里,几何直观指出了这样的方法:如果与另一条直线相交的直线逐渐地旋转到平行位置,则二直线的交点将退到无穷远处。直觉上我们可以说,二直线在“无穷远点”相交。这时,关键是要对这含糊的说法给出一个明确的意义,使得无穷远点(有时称为理想点)能够像平面上或空间中的普通点那样来讨论。换句话说,我们需要的是:即使这些几何元素是理想的元素,但涉及点、直线、平面等等的所有规则不变。要做到这一点,我们既可以用直观的办法,也可以用形式化的办法,正如我们在扩充数系时所做过的那样。在那里,一种做法是从测量的直观思想出发,而另一种做法则是从算术运算的形式规则出发。

首先,我们要看到,在综合几何中,即使是“普通”的点和直线这样一些基本概念,在数学上也是没给出定义的。在初等几何课本中,关于这些概念,经常能找到的所谓定义只是启发式的描述而已。对于普通的几何元素,我们的直觉使我们很容易感到它们的“存在”。但在几何中——作为一个数学体系来考虑——我们实际所需要的只是某些正确的规则。借助于它们,我们能运用这些概念,例如连接各点,求直线交点等等。从逻辑上考虑,一个“点”不是“自在之物”,对它,需要用能体现它与其他对象的关系的所有命题来完全描述。只要能以一种清晰而不矛盾的方式阐述“无穷远点”的数学性质,即它们与“普通”点的关系以及它们彼此之间的关系,则这个新的实体在数学上就有存在的意义了。普通的几何公理(例如欧几里得的公理),是从物理世界中的铅笔和粉笔线、拉紧的弦、光线、硬杆等抽象出来的。这些公理所赋予数学上点和直线的性质,是对应的物理对象的性态的高度简化和理想化的描述。通过任意两个用铅笔标出的实际的点能画出许多条直线而不只是一条。如果这点的直径变得越来越小,则所有这些直线将近似地相同。当我们说到“通过任意两点有一条且仅有一条直线”这个几何公理时,我们心里所指的就是这种情况。我们现在指的不是物理的点与直线,而是几何上抽象的、概念化的点与直线,几何的点和直线有着本质上比任何物理对象更为简单的性质,而且这样的简化是把几何发展成为一个演绎科学的根本条件。

如我们已指出的,与点和直线有关的普通几何,由于一对平行直线没有交点这一事实而被大大复杂化了。因此我们在几何的结构中作进一步的简化。通过扩大几何点的概念来消除这个例外,正如我们扩大数的概念来消除减法和除法的限制一样。在这里我们的指导思想始终是:希望在原来范围内通行的规律,在扩大的范围内仍然可行。

因此我们将规定,在每条直线上除普通点以外再加上一个“理想点”。这个点属于与给定直线平行的所有直线而不属于其他直线。这样一来,平面上每一对直线将交于一点;如果这对直线不平行,它们交于一普通点,而如果这对直线平行,则它们交于这二直线所共有的那个理想点上。由于直观的原因,一条直线的理想点称为这直线的无穷远点。

直线上一点退到无穷远处的直观概念,可能启发我们给每条直线加上两个理想点,沿着这直线的每一个方向有一个。其所以只加一个点(如我们上面所作),是由于我们希望保持这样一个规律:过任意两点有一条且仅有一条直线。如果一条直线与每条平行线共同包含两个无穷远点,则通过这两个“点”将有无穷多条平行线。

我们还将约定,除了平面上的普通直线以外,再加上一条“理想”直线(也称平面上无穷远直线),它包含平面上所有理想点而不包含其他点。显然,如果我们希望既保持原来过任意两点可作一直线的规定,又要得到任意二直线交于一点的新规律的话,就不得不做这个规定。为了说清这一点,让我们任意选择两个理想点,这时唯一通过这两点的直线不可能是一条普通直线,因为按照我们的规定,任何普通直线仅包含一个理想点。而且这条直线不能包含任意普通点,因为一普通点和一理想点决定一普通直线。最后,这条直线必须包含所有理想点,因为我们希望它与每一条普通直线有一个公共点。因此这条直线必须很明确地具备我们对平面上理想直线所假设的那些性质。

按照我们的规定,一个无穷远点被一族平行直线所确定,或者说由一族平行直线表示。正如一个无理数被有理端点区间套序列所确定一样。两条平行直线相交于无穷远点,这一命题没有神秘的含义,只不过是描述直线平行的一个约定方式。用这种方式表示平行(在语言上,原来它是针对直观上不同的对象用的),唯一的目的就是不必一一列举例外的情形;现在它们自然可用同一种语言来表示,或者说包括在用于“普通”情形的其他符号中。

综上所述,对无穷远点我们是这样规定的:关于普通的点和直线之间的关联性的规律,在扩大的点范围内继续成立;求二直线交点的做法,先前仅当直线不平行时才可能,现在则可以去掉这个限制。这样一种考虑——使得关联关系的性质在形式上得到简化——看起来似乎比较抽象,但读者在后面将会看到,这样做是很合适的。”——《什么是数学》第4章

数学是研究模式的科学。数学家的所作所为,就是去检视抽象的模式——数值模式、形状的模式、运动的模式、行为的模式、全国人口的投票模式、重复机会事件的模式等……”

——《数学的语言》序曲:何谓数学

数学是艰涩的,也是美味的,放下枯燥的课本,拿起一本数学史,我惊叹数学所代表的人类理性最高成就。心情放松,顺着好奇心的引导去理解和思考,学生时代的疑惑便慢慢解开,整个过程犹如欣赏一部烧脑成瘾的电影。

我喜欢《什么是数学》中“数学中的数系”,因为柯朗解读了整数、有理数、无理数等的定义和性质,因为康托尔的集合论令人着迷,他关于有理数可数性的证明令人叫绝,还有超越数的发现……

我也喜欢《古今数学思想》第二册中“四元数,向量和线性结合代数”,因为克莱因写到:“虽然关于超复数的思想引向了各种推广,但格拉斯曼的n维超复数的分析(例如微积分)终究未建立起来。理由是简单的,即没有发现这样的分析应用。”可见,数学的发展仍然围绕物理学而波动。

我还喜欢《数学的语言》中“当数学成形”,我终于理解了非欧几何的含义:欧几里得的第五公设(过直线外一点,能且只能画一条直线与该直线平行)是演绎推理的前提而非结论——其本身无法被证明,如果否认这条公设,我们仍然可以演绎出一套完整合理的几何体系。以球面为例,过球面上直线外一点根本不存在与其平行的直线(所有的直线都与该直线相交),理解这一点的关键在于抛弃经验直观,而从性质上理解“直线”的含义。两点之间最短的距离就是直线,而球面上两点的距离就是经过两点的大圆的弧(所谓大圆就是球面上圆心与球心重合的圆)。

除此以外,还有亚里士多德的三段论、布尔的代数、同余问题、对无穷远点和无穷远直线的扩展定义及其扩展依据(《什么是数学》第4章),几何变换的反演、射影几何的交比、拓扑、纽结……有的为我查漏补缺、有的让我大看眼界、还有的令我百思不得解(基础知识不足)。特别的,《天才引导的历程》中对于《几何原本》的部分解读让我感受到,现代数学的许多课题都源于这本流传千古的奇书。

如果进一步思考上述的种种惊奇,这些书籍还为我们展示了关于数学创造更重要的一个话题:到底是什么推动数学中的创造?一方面,数学的发展似乎就是依靠天才们惊人的智慧,另一方面,惊世的天才们似乎也无法超越时代的约束。

“应该指出的是,一旦公式(5)写出来后,用数学归纳法证明这公式就足够了,但这证明却没有表明这个公式最初是怎么产生的。为什么表达式[n(n+1)/2]^2被人正确地猜到是前n项立方和的表达式,而不是[n(n+1)/3]^2或(19n^2-41n+24)/2或任何其他曾经被考虑过的无限多个相似类型的表达式。一个定理的证明在于应用某些简单逻辑规则,但这样一个事实并没有揭示数学中的创造性的成分,而创造性在于对被考察的各种可能性作一选择。假设(5)的来源问题,属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。但是一旦叙述出正确的假设,用数学归纳法就常可提供证明。由于这样一种证明方法并没有给出发现过程的线索,把它称为验证似乎更为合适。

……

有许多原因使得数的概念必须越出实数连续统而引进所谓复数。人们必须认识到,在数学发展史上,在数学思想的发展过程中,所有这种推广和新的发明决不是个别人努力的结果,它们是具有继承性的逐步演化的过程的产物,而不能把主要功劳归于某个人。为了便于做形式计算,需要用到负数和有理数。他们并不像自然数那样直观和具体,直到中世纪末,数学家们在用到这些概念时才开始失去不舒适的感觉。直到19世纪中叶,数学家们才完全认识到,在一个扩充的数域中的计算,其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的;这扩充的数域必须通过定义来创造,这些定义是随意的。但是,如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质,它是毫无用处的。这些扩充有时可以和“实际”对象相联系,通过这种方式为新的应用提供工具,这是最重要的,但是这只能提供一种动力而不是扩充的合理性的逻辑证明。

……

……近代数学的直觉主义者,在广义的康德主义意义上不依赖于纯粹的直觉。他们把无限可数性作为正常的儿童所具有的直观感觉而接受下来,而且他们只承认可构造的性质;可是这样一来像数的连续统这样的基本概念被抛弃了,真正的数学的重要部分被排除了,并且剩下的部分几乎没有办法,只能弄得十分复杂。

“形式主义者”采用另一种很不同的观点。他们不把直觉的现实作为数学的对象,他们也不主张公理所表示的只是那些与纯粹直觉的现实有关的明显真理;他们所关心的只是在公理基础上继续推理的形式逻辑程序。和直觉主义比,这个态度有一定的好处,因为它为数学提供了在理论和应用上所需要的一切自由。但它却迫使形式主义者必须证明他的公理(现在看来是人的思维的任意创造)不可能引出矛盾。近二十年来,至少在算术和代数公理以及数的连续统概念方面,人们曾作了巨大的努力来寻找这种相容性的证明。这些结果有很大的意义,然而离成功还很遥远。实际上,最近的结果表明,这样的努力在下述意义下是不可能完全成功的:在概念的严格封闭系统中,证明相容性和完备性是不可能的。很值得注意的是,所有这些关于基础的讨论,所用的方法本身却完全是构造性的、是在直觉模式指引下产生的。

直觉主义者和形式主义者之间的分歧【为集合论的悖论(见101页)所加剧】,曾被这些学派的热心成员广为宣传。数学界响起了“基础危机”的呼喊。但是人们没有把它看得太严重,而且也不需要把它看得过于严重。鉴于澄清基础的斗争取得了这些成功,反认为这些意见分歧以及(在无拘束地追求漫无边际的一般性的过程中所特有的)悖论还威胁着富有生命力的数学机体,这是完全不公正的。

抛开哲学的因素和对基础的兴趣,对于数学学科来说,公理方法是剖析各种事实之间的相互联系以及展示这结构的基本逻辑梗概的最自然的方法。有时候,形式结构之如此集中,比概念的直观意义更易于推广和应用,而这些推广和应用在一些比较直观的方法中往往是被忽视的。但是,凡是重要的发现或者具有实质性内容的见解,很少是由单纯的公理程序得到的。在直觉指引下的构造性思想是数学动力的真正源泉。虽然公理化是理想的形式,但是,相信公理体系构成了数学的精髓,这是一个危险的错误。数学家的构造性直觉,给数学带来一个非演绎且非理性的要素,可以拿它同音乐与艺术相比拟。”

——《什么是数学》第1章、第2章、第4章

*公理体系:如果一个科学领域中的事实能被纳入这样一个逻辑次序,使得所有的事实都能从一些选择好的(最好是少量的、简单的、直观上明显合理的)命题出发来证明,则称这个领域已被表示为公理体系。选择那些命题作为公理,这有很大的任意性,但是除非这些公理简单且数目较少,否则运用公理方法很少获益。理想情况下,这些公理还应当满足相容性、完备性和独立性的要求。

“虽然柯西发展了适合微积分的一套广泛极限理论,但是,他依然运用动态的逼近过程。因此,他将微积分置于一个坚固的基础,只意味着他化约这个问题,为极限提供了一个精确定义。至于那最后的关键步骤,则是由魏尔斯特拉斯执行。然而,为什么不把是牛顿或莱布尼兹,甚或柯西做到这一点呢?毕竟,这些伟大数学家中,每一位都非常习惯使用这些变量以捕捉运动,并使用公式以捕捉运动的模式。差不多可以确定的是,问题在于人类心灵可以应付一个对象本身的过程之层次。在牛顿与莱布尼兹的时代,将函数视为一个对象,而非变化或运动的一个过程,早已是一项卓越的认知成就了。接下来,将连续逼近该函数斜率的过程视为另一个依本身名义的对象,就太不可思议了。只能随着时间的流逝,以及对微积分技巧熟悉度的渐增,才可望有人完成这第二个概念的跨越。伟大数学家可以完成惊人的壮举,但他们也只是人类。认知进展需要时间,往往是好几个世纪之久。

由于牛顿与莱布尼兹有关逼近(或极限)过程如此优异,他们乃能将他们的微分学发展成为一种可靠且极为有力的工具。为此,他们将函数视为数学对象,以便研究与操作,而不只是计算用的食谱而已。他们都被各色各样的模式——源自于链接到那些函数的斜率连续逼近的计算——所导引,然而,他们却无法后退一步,并将逼近的那些模式视为数学研究的对象本身。”

——《数学的语言》第三章