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【读书笔记】如何学习数学?
2018年09月02日 读书笔记 ⁄ 共 3164字 【读书笔记】如何学习数学?已关闭评论 ⁄ 被围观 199 views+

“作为一位数学教育家,克莱因对数学史在数学教育中的作用寄语了极高的愿望。格丁根大学的传统使得他和柯朗都非常注重数学教育。在他们看来,通常数学教科书所介绍的是一些没有什么关系的数学片段,它们给出一个系统的逻辑叙述,使人们产生了这样的错觉,似乎数学家们几乎理所当然地从定理到定理,数学家们能克服任何困难。而且课本字斟句酌的叙述,不能反映数学家们艰难的探索过程,所有这些对于培养真正的富有创造力的数学家都是极其不利的。不仅如此,他还对世界范围内的数学教育深感担忧。柯朗在为克莱因的《西方文化中的数学》写的序言中指出:“科学家们与世隔绝的研究,教师们少得可怜的热情,还有大量枯燥乏味、商业气十足的教科书和无视智力训练的教学风气,已经在教育界掀起了一股反数学的浪潮。然而,我们深信,公众依然对数学有浓厚的兴趣。”为了扭转这种状况,克服数学教科书和数学教学中的诸多弊端,克莱因认为数学史能起到有效的作用。数学史可以提供整个课程的概况,使课程的内容互相联系,并且与数学思想的主干联系起来;数学史可以让学生们看到数学家们的真实创造历史——如何跌跤、如何在迷雾中摸索前进,从而鼓起研究的勇气;从历史的角度来讲解数学,是使人们理解数学内容和鉴赏数学魅力的最好的方法之一。他的这一良苦用心,今天已得到了越来越多的人士的认可。

正是从对数学历史的考察中与对数学教育特点的思考中,使克莱因认识到,学生学习数学的过程与数学发展的历程有一定的相似性,即遵从生物发生学的一个基本规律:个体的成长要经历种族成长的所有阶段,顺序相同,只是所经历的时间缩短。由此出发,他认为“新数学”过分强调逻辑数学,有悖上述规律,因此注定了要失败。他在《为什么约翰不会做加法:新数学的失败》中,就是通过历史考察对“新数学”运动提出了尖锐的批评:“由于新数学的主要革新是将演绎法用于一般的数学科目上,我们要确定的是在数学方法上,特别在能否增进学生对数学的理解上,究竟有什么优点?经多方面的考量,不能不说这一问题的答案是否定的。首先,让我们了解数学本身的发展及其发展历史上,是否提供任何有助于我们判断的证据。毕竟数学是由了解数学的人所创建,且看欧几里得、阿基米德、牛顿、欧拉以及高斯等大师是如何懂得数学的?”“直到19世纪后期,数学、代数、分析(微积分及其延展)的逻辑基础才开始建立,这一层至关重要。换句话说,多少世纪以来,数学的各主要分科的建立,几乎全未依赖逻辑发展。伟人的直觉显然比逻辑更有力量。”“从上述历史能推断出什么结论?最具有直觉意义的概念,像整数、分数及几何概念最先被接受与运用,似乎明白不过。较少直觉的概念,像无理数、负数、复数、用字母做一般系数以及微积分等概念的建立和被接受,则各需许多世纪。……直觉凭证诱导数学家加以接受,逻辑的到来通常迟于创建以后很久,并且很不容易。数学的历史虽未证明,但已提示我们逻辑方法远较困难。”近年来,数学教育中越来越重视数学史,实与柯朗、克莱因等人的呼吁有一定联系。

不考虑数学史的数学哲学是苍白无力的。在数学哲学家探讨数学的方法中,数学史提供了一种最实际、最有效的方法。克莱因准确地把握了这一点。”

——《西方文化中的数学》译者前言

本来只想摘录这段文字,但是每次读到这些内容时,不免心思潮动,想多写几句。历史本就是文化的一部分,不仅是数学,似乎每个学科的历史对于学习这门学科的学生而言,都有莫大的激励,历史激发学习知识的兴趣,诱发求知探索的热情。一门学科一旦被抹去历史,就好像有机体被剥夺了生命,立刻失去生气,变得死气沉沉,不再具有诱人好奇的气息。

无独有偶,近日读到一篇有关大学教育未必适合每个人的文章:大学的替代方案。也许,这可以让我们思考:教育的目的到底是什么?你可以说是传授知识,也可以说是培养人才……这些都没有错,只是不具可操作性。

我们试着这样思考:人类文明需要存在和进步,而这需要存储并创造新的知识。人类过去创造了大量的知识,并且现在仍然在创造更大量的知识,由于每个人的生命都是有限的,所以这些知识需要被新的人类继承下去,但是比继承更重要的是创造新知识的能力,否则,人类文明就不会继续进步。由此引出两个问题:

  • 储存已有的知识。

  • 创造新的知识。

对于第一个问题,自从文字和纸张出现以后,到现代信息技术的巨大进步,人类已经拥有强大的储存工具,借助于专业化分工以及成熟的教育体系,人类可以在需要的时候充分利用这些知识,从而维持文明的存在。然而,对于第二个问题,人类至今没有找到能够以确定的方向和速度,创造新知识的有效方法——很可能根本不存在这样的方法。

为了避免重新发明轮子这样尴尬的事情,人们通常会认为,创新的前提是继承,也就是说,新一代的研究者必须要全盘继承以往所有的研究成果,在此基础上再去创新。这方面,专业化分工,也就是将知识细分是个有效的方法,既然人类数量增长的约束小于寿命增长的约束,那么就可以将原有的知识分成很多门学科,由一部分人去继承并开拓每门学科,当然,这并不是没有问题,如果物理学天才爱因斯坦如果没有得到数学家的帮助,就不会完成广义相对论。这种将整体分割为部分所导致的损失,在现代文明中不知还潜在多少。

然而,现代文明的高速进步所创造的大量知识,即使对于一个学科的研究者而言,继承所有已有的知识也变得艰难。所以,人类便会寻求高效的继承方法,这些方法自然也包括:抹去知识探索过程中的曲折过程,以结果为导向,通过逻辑演绎的方式直接提取这些知识的核心骨干,从而实现快速继承大量知识的目的。

遗憾的是,这种继承方法丢弃了知识真实的创造过程,以及蕴含其中的知识创造方法。甚至,由于大量的知识需要被继承,演绎机械式的继承方法也抹杀了人性中天生具有的直觉、想象、创造性的思维。结果就是,被教育体制所培养,乃至折磨出来的学生,专业知识扎实,能够运用现有的知识解决现有的问题,但是,创造新知识的水平却没有提高。

所以,我们可以看到,对于新知识的创造,原有的知识继承固然重要,但更重要的是不要因此抹杀人性天生所具有的直觉、想象、创造性的思维,而且要借助于历史等学科文化,让学习者能够亲身接触知识真实的创造过程,认识知识的创造方法,让他们对知识保持好奇心,充满求知欲,让思想自由流淌,让想象随意连接和释放。

如此一来,教育的真正目的根本不是为了告诉学生尽可能多的正确答案,而是放大、影响、呵护学生的好奇心,让学生学会如何探索、并且乐于探索未知的知识。教育的时长也不在于三年五年、还是九年十年,在好奇心的驱使下,学生会终其一生探索未知。这样看来,老师教授的知识对错并不重要,学生会对错误产生质疑,并且迟早找寻到答案;老师教授的知识多少也不重要,知识有如茫茫大海,学生自会学海行舟;甚至,有没有老师教授也不重要,有心学习的人,万事万物都是老师,随时随地都可学习;学到的知识是对是错也不重要,当知识与现实矛盾时,学生自会纠正改进……讽刺的是,我在这里也在用演绎逻辑的方法分析这个问题——这意味着演绎逻辑方法本身并没有错,只是这会让人看不清知识创造本身的真面目。

也许有人会质疑:老师以演绎逻辑的方式教授知识,会提高学生的知识获取效率,避免学生自己走弯路浪费时间。对于老师所教授的知识,诚然如此。但是,老师又如何保证自己所教的知识都是绝对真理呢?而且这种效率也只是针对所教授的知识而言,让学生以牺牲好奇心、求知欲,独立获取知识的方法来换取这种效率其实是得不偿失的。就以走弯路而言,弯路走的多了,经验也多了,学习的路上迟早要独自前行,与其被人通过康庄大道带到乡间小路再撒手,不如自己在乡间小路土生土长。另一方面,对于学生而言,已有的知识继承比例达到多少最有利于新知识的创造,这同样是未知之数。所以,对于学习而言,最重要的不是学到了什么,而是“如何”以及“为何”学习?

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